题目标题

说说梯度下降法。

参考解析

回归在数学上来说是给定一个点集,能够用一条曲线去拟合之,如果这个曲线是一条直
线,那就被称为线性回归,如果曲线是一条二次曲线,就被称为二次回归,回归还有很多
的变种,如 locally weighted 回归,logistic 回归,等等,这个将在后面去讲。
用一个很简单的例子来说明回归,这个例子来自很多的地方,也在很多的 open source
的软件中看到,比如说 weka。大概就是,做一个房屋价值的评估系统,一个房屋的价值
来自很多地方,比如说面积、房间的数量(几室几厅)、地段、朝向等等,这些影响房屋
价值的变量被称为特征(feature),feature 在机器学习中是一个很重要的概念,有很多的论
文专门探讨这个东西。在此处,为了简单,假设我们的房屋就是一个变量影响的,就是房
屋的面积。
假设有一个房屋销售的数据如下:
面积(m^2) 销售价钱(万元)
123 250
150 320
87 160
102 220
… …
这个表类似于帝都 5 环左右的房屋价钱,我们可以做出一个图,x 轴是房屋的面积。y
轴是房屋的售价,如下:如果来了一个新的面积,假设在销售价钱的记录中没有的,我们怎么办呢?
我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据,然后如果有新的输入过来,我们可以在
将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合,可能是下面的样子:绿色的点就是我们想要预测的点。
首先给出一些概念和常用的符号,在不同的机器学习书籍中可能有一定的差别。
房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输
入数据,一般称为 x
房屋销售价钱 - 输出数据,一般称为 y
拟合的函数(或者称为假设或者模型),一般写做 y = h(x)
训练数据的条目数(#training set), 一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的
输入数据的维度(特征的个数,#features),n
下面是一个典型的机器学习的过程,首先给出一个输入数据,我们的算法会通过一系列
的过程得到一个估计的函数,这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计,也
被称为构建一个模型。就如同上面的线性回归函数。我们用 X1,X2..Xn 去描述 feature 里面的分量,比如 x1=房间的面积,x2=房间的朝
向,等等,我们可以做出一个估计函数:θ 在这儿称为参数,在这儿的意思是调整 feature 中每个分量的影响力,就是到底是房
屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。为了如果我们令 X0 = 1,就可以用向量的方式来
表示了:我们程序也需要一个机制去评估我们 θ 是否比较好,所以说需要对我们做出的 h 函数
进行评估,一般这个函数称为损失函数(loss function)或者错误函数(error function),描
述 h 函数不好的程度,在下面,我们称这个函数为 J 函数
在这儿我们可以做出下面的一个错误函数:这个错误估计函数是去对 x(i)的估计值与真实值 y(i)差的平方和作为错误估计函数,前面
乘上的 1/2 是为了在求导的时候,这个系数就不见了。
如何调整 θ 以使得 J(θ)取得最小值有很多方法,其中有最小二乘法(min square),是一
种完全是数学描述的方法,在 stanford 机器学习开放课最后的部分会推导最小二乘法的公
式的来源,这个来很多的机器学习和数学书上都可以找到,这里就不提最小二乘法,而谈
谈梯度下降法。
梯度下降法是按下面的流程进行的:
1)首先对 θ 赋值,这个值可以是随机的,也可以让 θ 是一个全零的向量。
2)改变 θ 的值,使得 J(θ)按梯度下降的方向进行减少。
为了更清楚,给出下面的图:这是一个表示参数 θ 与误差函数 J(θ)的关系图,红色的部分是表示 J(θ)有着比较高的取
值,我们需要的是,能够让 J(θ)的值尽量的低。也就是深蓝色的部分。θ0,θ1 表示 θ 向量
的两个维度。
在上面提到梯度下降法的第一步是给 θ 给一个初值,假设随机给的初值是在图上的十字
点。
然后我们将 θ 按照梯度下降的方向进行调整,就会使得 J(θ)往更低的方向进行变化,如
图所示,算法的结束将是在 θ 下降到无法继续下降为止。